[인과추론] Notation 101

 

"T가 Y에 영향을 준다." 

라는 결론에 도달하기 위해 인과추론에서는 복잡한 계산 과정을 거치게 된다.

이 과정에서 각 실험대상(unit)별 세부 표기법부터 인과 효과를 추론하는 과정에 이르기까지 다양한 기본 Notation들을 정확하게 이해해야 앞으로 인과추론의 수식적 접근을  쉽게 이해할 수 있다. 

이번 포스팅에서는 인과추론의 핵심 개념들을 이해하기 위해 사용되는 주요 표기법(Notation)들을 정리해본다.

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1. 실험대상 i

• i는 개별 실험대상(예: 한 사람, 한 학교, 한 병원 등)을 의미한다.
• i=1,2,3,… 같이 각 대상에 인덱스를 붙여 구분한다.

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2. 처치 지시자 T

• T는 실험대상 i가 처치를 받았는지 여부를 나타내는 이진 변수다.

 

• 이 변수는 개별 대상별로 처치 여부를 구분하여, 인과 효과를 추론하는 데 기초 데이터를 제공한다.

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3. 잠재적 결과 (Potential Outcomes)

실제 인과 효과를 추론하기 위해, 각 실험대상 i는 두 가지 잠재적 결과를 가진다.

중요:

한 실험대상에 대해 이 두 가지 결과를 동시에 관찰하는 것은 불가능하다.
우리가 실제로 관찰할 수 있는 것은 오직 하나의 결과(factual) 뿐이며,
나머지 하나는 "반사실적 잠재 결과 (counterfactual)"로 남게 다.

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4. 관찰된 결과 Y

• Y는 실험대상 i에서 실제로 관찰되는 결과다.
• 처치 여부에 따라, 관찰된 결과는 아래와 같이 결정된다:

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5. 개별 처치 효과와 평균 효과

5-1. 개별 처치 효과 (Individual Treatment Effect, ITE)

• ITE는 개별 대상 i에 대해 처치 효과를 나타내며, 다음과 같이 정의된다.
• ITE = 처치를 받은 결과 -  처치를 받지 않은 결과:

5-2. 평균 처치 효과 (Average Treatment Effect, ATE)

• 전체 집단에서의 평균 처치 효과는 다음과 같이 정의한다:
• ATE = (처치를 받았을 때의 결과 - 처치를 받지 않았을 때의 결과)의 평균

• 이 값은 처치가 결과에 미치는 평균적인 인과 효과를 추정한다.

5-3. 처치군에 대한 평균 효과 (Average Treatment Effect on the Treated, ATT)

• 처치를 실제로 받은 집단에 한정하여, 평균 처치 효과를 측정한다:
• ATT = 처치를 받은 그룹에서(Ti=1) 처치를 받았을때의 기댓값(Yi(1)) - 처치를 받지 않았을 경우의 기대값(Yi(0); counterfactual)

• 이는 처치를 받은 대상들에 대해, 처치가 결과에 미친 순수한 효과를 나타낸다.

 

하지만 한 대상에 대해 두 가지 결과를 동시에 관찰할 수 없으므로,
현실에서는  ITE, ATE, ATT 모두 반사실적결과(counterfactual outcomes)를 포함하기에 직접 측정/관찰할 수 없다.

 

이 포스팅은 Notation에 관련한 포스팅이기 때문에, 우선은 여기까지만 알고있자.

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Summary

이번 포스팅에서는 인과추론의 핵심 개념을 이해하는 데 필요한 기본 표기법(Notation) 들을 정리했다.

실험 대상	i	연구에서 관찰하는 개별 단위 (예: 한 사람, 한 병원).
처치 지시자	T	개별 대상 i가 처치를 받았는지 여부를 나타내는 이진 변수 (0 or 1)
잠재적 결과	Y	처치를 받았을 경우와 받지 않았을 경우의 결과. 한 대상에 대해 두 가지 결과를 동시에 관찰할 수 없음.
관찰된 결과	Ti	개별 대상 i에서 실제로 관찰된 결과.
개별 처치 효과	ITE	Individual Treatment Effect, 특정 대상 i에서 처치가 미친 효과 (ITE=Yi(1)−Yi(0)ITE = Y_i(1) - Y_i(0)ITE=Yi​(1)−Yi​(0))
평균 처치 효과	ATE	Average Treatment Effect, 전체 모집단에서 처치 효과의 평균
처치군에 대한 평균 처치 효과	ATT	Average Treatment Effect on the Treated 처치를 받은 집단에서의 평균 처치 효과.

 

현실에서는 단일 개체에 대해 두 가지 결과를 동시에 관찰할 수 없기 때문에, 실제로 ITE, ATE, ATT를 직접 측정할 수 없다. 이 때문에 우리는 통계적 기법을 이용해 인과 효과를 추정해야 한다.

하지만, 단순한 평균 비교만으로는 정확한 인과 효과를 추정할 수 없을 수도 있다.

그건 바로 "편향(Bias)" 때문인데,

다음 포스팅에서는 Bias가 무엇인지, 왜 단순한 평균 비교가 문제가 될 수 있는지를 오늘 포스팅에서 다룬 Notation들과 함께 살펴보자.

 

 

reference: https://www.franciscoyira.com/post/potential-outcomes-causal-inference-mixtape/